摘 要：该文针对电枢反应引起的非线性不确定性及具有参数变化和负载扰动的直流电机速度跟踪控制问题，构造了一个适当的增广被控对象，将其转化为一标准设计问题，设计了速度控制系统的鲁棒状态反馈控制器，进而利用二自由度鲁棒跟踪设计方法设计了速度鲁棒跟踪控制器。仿真研究结果表明，该文所设计的速度鲁棒跟踪控制系统，不仅对于电机的非线性不确定性有较好的控制效果，而且可以有效地抑制电机负载扰动的影响。
关键词：直流电机；电枢反应非线性；鲁棒控制；速度跟踪控制
1 引言
工程实际中的被控对象严格来讲往往都具有一定的非线性，直流电机速度跟踪控制系统，当考虑电枢反应引起的励磁非线性时，其也具有一定的非线性，考虑到电枢反应非线性比较小，所以可将其视为模型的一种非线性不确定性。本文利用能对外界扰动、非线性等不确定性及参数变化进行有效控制的鲁棒控制理论，在文献[1]、[2]的基础上，不仅考虑了存在非线性不确定时系统的鲁棒稳定性，而且考虑了电机系统对外界负载干扰的抑制性能，将两者合二为一，通过解一H¥标准设计问题来设计速度控制系统的状态反馈控制器，并利用二自由度鲁棒跟踪控制器的方法设计了前馈补偿控制器。仿真研究结果表明了本文控制算法的有效性。
2 理论准备
考虑如下系统
式中 A∈Rn×n为已知矩阵；u为控制输入；w为干扰信号；g(x,t)为含系统参数摄动等因素的非线性不确定性；是n维非线性函数向量。
假设g(x,t)可以描述为g(x,t)=Eδ(x,t),E∈Rn×m为已知定常阵，δ(x,t)∈Rm为未知的连续可微函数向量，并假设δ(x,t)满足
式中 W为加权阵。
假设对于任意给定的T1>0,w(t)满足如下的有界条件
对于满足式(3)的干扰信号w(t)成立，其中，ε>0为给定常数，Q≥0，R>0为权矩阵。
Q和R用来调节干扰抑制效果和控制输入信号过大的矛盾，根据二次型最优控制理论可知，ε越小意味着系统对于干扰w的抑制性能越好。
分别定义抑制干扰评价信号和抑制非线性不确定性评价信号如下
对于式(1)被控对象，考虑状态反馈控制器
则闭环系统式(9)满足式(4)的干扰抑制性能指标。
（2）当w=0时，若
或者等价地，如果存在适当的标量λ>0，使得Riccati不等式
具有正定解P，则式(1)对于任意满足式(2)的非线性不确定性g(x,t)，平衡点x=0渐近稳定。
推论 如果A B2K为稳定阵，当w≠0,g(x,t)≠0时，考虑同时满足干扰抑制性能和鲁棒稳定的状态反馈鲁棒控制器的设计问题，可以转化为求解如下增广被控对象的H∞控制问题。
证明：上述由式(1)、(5)、(6)构成的增广被控对象的H∞标准设计问题如图1所示。
图1中，w为外界负载干扰信号，w1相当于控制系统内部模型非线性不确定性g(x,t)的影响因素。
因此，同时满足干扰抑制性能和鲁棒稳定的状态反馈鲁棒控制器的设计问题，即是求解
D'12=[D12 0]T，则增广被控对象式(15)可重写为式(13)的一般形式，证毕。
3 考虑电枢反应非线性及参数不确定性的直流电机模型
本文引用文[3-4]中的考虑实际存在电枢反应或者由于补偿绕组不能完全抵消电枢反应的直流电机非线性模型，这种电枢反应引起的非线性不确定性为
km=Cm Bi (19)
式中 Cm为无负载时电机转矩常数；B为一个未知的很小的负数，约在[-0.0009，-0.0011]之间，它表示电枢电流i对励磁的反作用的系数。
直流电机的基本动态结构如图2所示，由此得到直流电机的微分方程如下
式中 i为电机的电枢电流；ω为电机的角速度，u为电机的输入控制电压；r为电机的电枢电路总电阻；L为电机的电枢回路总电感；J为电机的转动惯量；F为粘滞摩擦系数；T=kmi为电磁转矩；T1为负载转矩。
其基本参数如下[5]：电动机额定功率1500kW，额定电流Ie=1720A,ne=290r/min,L=0.0003H,Cm=31N?m/A。其他参数的标称值如下：R=0.0314Ω,J=1542kg?m2,F=0.0064（很小、甚至可以忽略），这些参数有一定的时变不确定性，其值在标称值的±20%范围内变化。
将式(19)代入微分方程式(20)得控制系统的微分方程为
△A为由于R，J，F等参数变化而引起的摄动项。
由实际电机控制对象计算得到
4 速度鲁棒控制器的设计及仿真研究结果
针对如式(21)所示的被控对象，取权矩阵为 
由上可知，可以通过解式(13)或式(15)给出的增广被控对象所对应的H∞标准设计问题，得到状态反馈控制器，设计过程如下：
对于给定的γ>0，如果存在正定阵P>0和充分小的正数α>0，使得如下Riccati等式
此时闭环系统鲁棒稳定且满足式(4)所示的干扰抑制性能。由上可知，如果Riccati等式(22)有正定解，则可以求得希望的反馈控制器。
本速度控制系统设计时，取α=0.01，γ=0.8，将上述数据代入式(22)，得正定解为
仿真时，将状态反馈控制器K放入系统中，为使系统输出能够1:1地跟踪参考输入r，则根据二自由度跟踪控制设计，控制输入应取为
u=Kx K1r (25)
式中 K为鲁棒状态反馈控制器；K1可取为参考输入对应的静态比例增益；本速度跟踪控制系统中，取
其中Iw为电枢电流i的稳态值，实际可以通过对电枢电流的惯性滤波（滤波时间常数为2s）得到。后面的仿真过程中，当r=260/9.55rad/s时为K1=35，当r=26/9.55rad/s时，K1=55.76。
针对第3节中所述的速度控制系统被控对象及参数，利用本文所设计的二自由度控制器式(25)对其控制的仿真研究结果如下：
图3(a)、(b)和图4分别是跟踪高、低速阶跃信号nd=9.55ωd=260r/min(ωd=27.23rad/s)、nd=9.55ωd=26r/min(ωd=2.723rad/s)和跟踪时变复合信号nd=260 26sin(6.28t)r/min的情况，在信号跟踪过程中，给定的负载扰动为29100(N?m)，对应的负载电流约为1000A，扰动是在t=0时刻开始加的；电枢电流的反作用系数B在[-0.0009，-0.0011]之间变化。系统内部参数R，J，F在标称值的±20%范围内变化时的跟踪曲线基本不变，在此不再给出。
图5所示是在图3仿真数据的基础上，负载干扰再加一时变干扰T'=2910sin(2πt)(N?m)（t=0时刻加入）时的实际速度曲线，由图可见，本文设计的控制系统对于负载干扰变化±10%的情况下，系统的跟踪性能还是较好的。
5 结论
仿真研究结果表明，本文针对具有内部非线性不确定性、系统内部参数变化和外界负载干扰的速度鲁棒跟踪控制问题，首先将其转化为一标准H∞设计问题，并设计速度控制系统的鲁棒状态反馈控制器，进而利用二自由度鲁棒跟踪设计方法设计了速度鲁棒跟踪控制器，这种控制方法是切实可行的。所设计的速度控制系统能够使得系统鲁棒稳定，并能有效抑制系统内部参数变化和非线性等不确定性、外界负载干扰的影响，速度跟踪性能优良。
参考文献
[1] 申铁龙．H¥ 控制理论及应用[M]．北京：清华大学出版社，1996．
[2] Shen T，Tamura K．Robust H∞ control of uncertain nonlinear systems via state feedback[J]．IEEE Transaction on Automatic Control，1995，39(4)：766-768．
[3] Horng J H．Neural adaptive tracking control of a DC motor[J]．Information Science，1999，118：1-13．
[4] Ibbini M S，Zakaria W S．Nonlinear control of DC machines[J]．Electric Machines and Power Systems，1996，24：21-25．
[5] 方一鸣，嵇胜龙，王益群，等（Fang Yiming，Ji Shenglong，Wang Yiqun，et al）．冷带轧机速度控制系统负载扰动观测器的设计及应用（The design and application of load disturbance observer for speed control system of cold strip mill）[J]．冶金自动化（Metallurgical Industry Automation），2001，25(6)：50-53．
